高等数学

1. 泰勒公式家族（等价无穷小之源）

核心思想：泰勒公式是“全集”，等价无穷小是其“子集”。放在一起记忆，以泰勒公式为纲。

皮亚诺余项刻画了麦克劳林（或泰勒）展开式在 $x\to 0$ （或 $x\to x_0$ ）时的局部逼近精度。 余项的阶数$o(x^n)$ 表示：展开式已包含所有不超过$n$阶的非零项（即使某些系数为 0），且误差比$x^n$更高阶。 如对$sinx$ ：

$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\text{（基本形式）}$$

但由于$sinx$是奇函数，其$x^4$系数为0，因此余项可以直接写到$o(x^4)$，即：

$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)\text{（更精确的形式）}$$

家族一：指数与对数族

• 指数函数

$$\begin{array}{rl}& e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ & e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},\text{收敛域：}(-\infty ,+\infty )\end{array}$$

记忆技巧：分母是阶乘，符号全为正。

衍生等价无穷小：$e^x-1\sim x$

• 对数函数

$$\begin{array}{rl}& \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n},\text{收敛域：}(-1,1]\end{array}$$

记忆技巧：分母是自然数，符号正负交替。

衍生等价无穷小：$\ln (1+x)\sim x$

进阶等价：$x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$

家族二：三角函数族

• 正弦函数

$$\begin{array}{rl}& \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)\\ & \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\text{收敛域：}(-\infty ,+\infty )\end{array}$$

记忆技巧：只含奇数次项，符号正负交替。

衍生等价无穷小：$\sin x\sim x$

进阶等价：$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

• 余弦函数

$$\begin{array}{rl}& \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)\\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},\text{收敛域：}(-\infty ,+\infty )\end{array}$$

记忆技巧：只含偶数次项，符号正负交替。可以看作是 sin⁡xsinx 求导后的结果。

衍生等价无穷小：$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

• 正切函数

$$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^4)$$

记忆技巧：可以通过$\tan x=\frac{sinx}{cosx}$ 做多项式除法得到。

衍生等价无穷小：$\tan x\sim x$

进阶等价：$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

家族三：反三角函数族

• 反正弦函数

$$\begin{array}{rl}& \arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^4)\\ & \arcsin x=-i\ln \left(ix+\sqrt{1-x^2}\right)\end{array}$$

记忆技巧：只有奇数次项，系数均为正。

衍生等价无穷小：$\arcsin x\sim x$

进阶等价：$\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

• 反正切函数

$$\begin{array}{rl}& \arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^4)\\ & \arctan x=\frac{1}{2i}\ln \left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)\\ & \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\text{收敛域：}[-1,1]\\ & \arctan x=-i\mathrm{artanh}(ix)\\ & \mathrm{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\end{array}$$

记忆技巧：形式类似 ln⁡(1+x)ln(1+x)，但分母是奇数。

衍生等价无穷小：$\arctan x\sim x$

进阶等价：$x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

家族四：二项式家族（核心！）

• 广义二项式定理（万能）

$$\begin{array}{rl}& (1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+o(x^3)\\ & (1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,\text{其中 }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}\end{array}$$

收敛域：

• 若 $\alpha$ 为非负整数：对所有 $x$ 收敛（有限项多项式）。
• 若 $\alpha \notin \mathbb{N}$：收敛域为 $|x|<1$；
  • 当 $\alpha >-1$ 时，在 $x=1$ 处收敛；
  • 当 $\alpha \le -1$ 时，在 $x=\pm 1$ 均发散。

记忆技巧：系数是组合数形式$C_a^n$ 。这是万能公式，许多其他公式可由它推出。

衍生等价无穷小：$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

• 常用特例
  1. 平方根（$\alpha =\frac{1}{2}$）

$$\begin{array}{rl}& \sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3+o(x^3)\\ & \sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{n}\right)x^n,|x|<1\end{array}$$

2. 几何级数（$\alpha =-1$）

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)\\ & \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,|x|<1\\ & \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)\\ & \frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,|x|<1\\ & \frac{1}{(1+x{)}^2}=1-2x+3x^2-4x^3+o(x^3)\\ & \frac{1}{(1+x{)}^2}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n}n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n(n+1)x^n,|x|<1\\ & \frac{2}{(1+x{)}^3}=2-6x+12x^2-20x^3+o(x^3)\\ & \frac{2}{(1+x{)}^3}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n(n+2)(n+1)x^n,|x|<1\end{array}$$

---

2. 导数公式家族

家族一：基本初等函数

$$\begin{array}{rl}& (C{)}^{\prime }=0\\ & (x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}\\ & (\sin x{)}^{\prime }=\cos x\\ & (\cos x{)}^{\prime }=-\sin x\\ & (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x\\ & (\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x\\ & (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\\ & (e^x{)}^{\prime }=e^x\\ & ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}\\ & (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\end{array}$$

家族二：反函数族

$$\begin{array}{rl}& (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ & (\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ & (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\\ & (\text{arccot }x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

家族三：经典复合函数

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{arsinh}}^{\prime }\left(\frac{x}{a}\right)=[\ln (x+\sqrt{x^2+a^2}){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\text{（常用于积分）}\\ & {\mathrm{arcosh}}^{\prime }\left(\frac{x}{a}\right)=[\ln (x+\sqrt{x^2-a^2}){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\text{（常用于积分）}\end{array}$$

---

3. 积分公式家族

家族一：基本积分表

$$\begin{array}{rl}& \int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C(\mu \ne -1)\\ & \int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C\\ & \int e^{x}dx=e^x+C\\ & \int \sin xdx=-\cos x+C\\ & \int \cos xdx=\sin x+C\\ & \int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C\\ & \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\end{array}$$

家族二：含 $a^2\pm x^2$ 和 $x^2-a^2$ 的积分

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\\ & \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\\ & \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\\ & \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\end{array}$$

家族三：三角相关积分

$$\begin{array}{rl}& \int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C\\ & \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\ & \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C\\ & \int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C\end{array}$$

家族四：常用积分结论（对称性、区间再现等）

$$\begin{array}{rl}& {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx=\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=0\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nxdx=\{\begin{array}{ll}0,& m\ne n\\ \pi ,& m=n\end{array}\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{为奇数}\end{array}(\text{沃利斯公式})\end{array}$$

---

线性代数

1. 行列式家族

$$\begin{array}{rl}& |kA|=k^n|A|\\ & |AB|=|A||B|\\ & |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\\ & |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}\end{array}$$

2. 矩阵运算家族

$$\begin{array}{rl}& (AB{)}^T=B^T{A}^T\\ & (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}\\ & (A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T\end{array}$$

3. 秩的家族

$$\begin{array}{rl}& r(A)=r(A^T)=r(A^{T}A)=r(A{A}^T)\\ & r(A+B)\le r(A)+r(B)\\ & r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}\\ & \text{若 A 可逆，则 }r(AB)=r(B)\end{array}$$

4. 特征值家族

设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$。

$$\begin{array}{rlr}& \sum {\lambda }_i=\mathrm{tr}(A)& \text{（迹）}\\ & \prod {\lambda }_i=|A|& \text{（行列式）}\\ & A^k\text{ 的特征值为 }{\lambda }_i^k& \text{（幂）}\\ & A^{-1}\text{ 的特征值为 }{\lambda }_i^{-1}& \text{（逆）}\\ & f(A)\text{ 的特征值为 }f({\lambda }_i)& \text{（多项式）}\end{array}$$

---

概率论与数理统计

1. 离散型分布家族

分布	分布律	期望 $E(X)$	方差 $D(X)$
0-1分布	$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k}$	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$	$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda )$	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$

2. 连续型分布家族

分布	概率密度	期望 $E(X)$	方差 $D(X)$
均匀分布 $U(a,b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a},a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda )$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$

3. 数字特征家族

• 期望线性家族

$$E(C)=C,E(CX)=CE(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

• 方差家族

$$D(C)=0,D(CX)=C^{2}D(X),D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

独立可加性：若$X,Y$独立，则 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$

• 协方差与相关系数家族

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\\ & {\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\\ & D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)\end{array}$$

Comments

Leave a comment

Submit