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26考研数学考前一页纸（数学一）

（一）高等数学

1. 常见函数展开式

   • $\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
   • $\cos x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
   • $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
   • $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$
   • $\frac{1}{1+x}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n$
   • $(1+x{)}^{\mu }=1+\mu x+\frac{\mu (\mu -1)}{2}{x}^2+o(x^2)$
   • $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$
   • $\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$
   • $\arctan x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
   • $\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
   • ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}=\frac{1}{1+x^2}$
   • ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n(n+1)x^n=\frac{1}{(1+x{)}^2}$

2. 变上限积分求导

   • $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$
   • $\frac{d}{dx}{\int }_a^{\varphi (x)}f(t)dt=f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$
   • $\frac{d}{dx}{\int }_{\psi (x)}^{\varphi (x)}f(t)dt=f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)-f(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)$

3. 常用积分公式

   • ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为正偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3},& n\text{为大于1的奇数}\end{array}$
   • $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
   • $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
   • $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
   • $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
   • $\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
   • ${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$（选$v$次序：指数、三角函数、幂函数、对数、反三角函数）

4. 一阶线性微分方程

   • $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\Rightarrow y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$

5. 高阶线性常系数齐次微分方程通解结构

   • 特征方程：$r^n+p_1{r}^{n-1}+\cdots +p_{n-1}r+p_n=0$
   • 单实根$r$：对应项 $C{e}^{rx}$
   • $k$重实根$r$：对应项 $e^{rx}(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})$
   • 共轭复根$r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$：对应项 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

6. 无穷积分敛散性（p-积分）

   • ${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x^p(\ln x{)}^q}$：$\{\begin{array}{ll}p>1,& \text{收敛}\\ p=1,q>1,& \text{收敛}\\ \text{其他},& \text{发散}\end{array}$
   • ${\int }_0^1\frac{dx}{x^p(-\ln x{)}^q}$：$\{\begin{array}{ll}p<1,& \text{收敛}\\ p=1,q>1,& \text{收敛}\\ \text{其他},& \text{发散}\end{array}$

7. 积分和式极限

   • ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})={\int }_0^{1}f(x)dx$

8. 斜渐近线求法

   • 若 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$，且 ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]=b$，则有斜渐近线 $y=ax+b$

9. 导数定义

   • $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
   • $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

10. 参数方程求导

    • 一阶导：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$
    • 二阶导：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})/\frac{dx}{dt}$

11. 多元函数可微定义

    • $f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微 $\iff {\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta z-f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x-f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$

12. 条件极值（拉格朗日乘数法）

    • 约束$\varphi (x,y)=0$：令$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$
    • 约束$\varphi (x,y)=0,\psi (x,y)=0$：令$L(x,y,\lambda ,\mu )=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)+\mu \psi (x,y)$

13. 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

    • 格林公式：设$D$是封闭曲线$L$围成的区域，$P,Q$在$D$上具有一阶连续偏导，则 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$
    • 路径无关的四个等价条件：${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$ 对任意闭曲线$C$ $\iff$ $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ $\iff$ 存在$u(x,y)$使$du=Pdx+Qdy$
    • 斯托克斯公式：${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$，其中$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$是曲面$\Sigma$的单位法向量，且$L$与$\Sigma$的侧符合右手法则。
    • 曲面面积分计算（投影法）：若$\Sigma :z=z(x,y)$，投影区域$D_{xy}$，则 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}dxdy$

14. 梯度、散度、旋度

    • 梯度：$\text{grad}f(x_0,y_0,z_0)=(f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0),f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0))$
    • 设$\mathbf{A}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$
      • 散度：$\text{div}\mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
      • 旋度：$\text{rot}\mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

15. 方向导数

    • $f(x,y,z)$在点$(x_0,y_0,z_0)$沿方向$\vec{l}$（方向余弦$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$）的方向导数： $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=f_x^{\prime }\cos \alpha +f_y^{\prime }\cos \beta +f_z^{\prime }\cos \gamma$
    • 方向导数最大值等于梯度的模：$\max \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=|\text{grad}f|$

16. 形心与曲面质量

    • 空间体$\Omega$的形心：$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\left(\frac{{\iiint }_{\Omega }xdv}{V},\frac{{\iiint }_{\Omega }ydv}{V},\frac{{\iiint }_{\Omega }zdv}{V}\right)$
    • 曲面$\Sigma$的面积：$S={\iint }_{\Sigma }dS$
    • 曲面薄片$\Sigma$（面密度$\rho (x,y,z)$）的质量：$M={\iint }_{\Sigma }\rho (x,y,z)dS$

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（二）线性代数

1. 矩阵特征值性质

   • $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$
   • ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=\text{tr}(A)$

2. 伴随矩阵性质

   • $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
   • $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

3. 矩阵秩的关系

   • 若$A_{m\times n}{B}_{n\times s}=O$，则$r(A)+r(B)\le n$
   • 一般地，$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$，且$r(A)+r(B)-n\le r(AB)$

4. 矩阵不可逆（不满秩）等价条件

   • 设$A$为$n$阶矩阵，$r(A)=r<n$ $\iff$ $|A|=0$ $\iff$ $A$不可逆
   • $\iff$ $A$的列向量组线性相关，且存在一个含$r$个向量的线性无关部分组
   • $\iff$ 齐次方程组$Ax=0$有非零解，且基础解系含$n-r$个向量
   • $\iff$ $0$是$A$的特征值，且对应$n-r$个线性无关的特征向量

5. 等价与向量组等价

   • 矩阵$A,B$等价 $\iff$ $r(A)=r(B)$
   • 列向量组$A$与$B$等价 $\iff$ $r(A)=r(B)=r(A,B)$

6. 相似与合同

   • $A,B$相似 $\Rightarrow$ $A,B$特征值相同
   • 实对称矩阵$A,B$合同 $\iff$ $A,B$的正、负惯性指数（即正、负特征值个数）相同

7. 相似对角化条件

   • 实对称矩阵必可相似对角化。
   • 特征值全不相同的方阵必可相似对角化。
   • 设$n$阶方阵$A$的特征值$\lambda$的重数为$k$，则$A$可相似对角化的充要条件是$r(\lambda E-A)=n-k$。

8. 二次型与正定矩阵

   • 规范形：系数只在$1,-1,0$中取值的标准形。
   • $n$阶对称矩阵$A$正定 $\iff$ $A$的特征值全为正 $\iff$ $A$的各阶顺序主子式全大于零。

9. 矩阵的幂与多项式

   • 若$A=P\Lambda P^{-1}$，则$A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$，$kA+E=P(k\Lambda +E)P^{-1}$。

10. 二次型最值

    • ${\max }_{x\ne 0}\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}={\lambda }_{\max }$，${\min }_{x\ne 0}\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}={\lambda }_{\min }$。

11. 向量与矩阵运算性质

    • ${\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha =\text{tr}(\alpha {\beta }^T)=\text{tr}(\beta {\alpha }^T)$
    • $\alpha$与$\beta$正交 $\iff$ ${\alpha }^T\beta =0$
    • 设$\alpha ,\beta$为非零列向量，则$n$阶矩阵$A=\alpha {\beta }^T$的非零特征值为${\alpha }^T\beta$，其余$n-1$个特征值为0，且$\alpha$是$A$属于特征值${\alpha }^T\beta$的特征向量。

12. 向量空间

    • 维数 = 秩，基 = 极大线性无关组，坐标 = 线性表示的系数。
    • 从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$到基${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_r$的过渡矩阵$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r{)}^{-1}({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_r)$。

13. 二次曲面

    • 二次型$f=x^{T}Ax=1$表示的图形：
      • 椭球面：$A$的特征值全为正（+++）
      • 单叶双曲面：$A$的特征值两正一负（++-）
      • 双叶双曲面：$A$的特征值一正两负（+—）
      • 柱面：$A$的特征值含0

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（三）概率论与数理统计

1. 常用分布

分布	记号	期望	方差	概率分布/密度函数
二项分布	$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$	$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$
泊松分布	$P(\lambda )$	$\lambda$	$\lambda$	$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$
几何分布	$G(p)$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$	$P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}p$
均匀分布	$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
指数分布	$E(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
正态分布	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
二维均匀分布	在区域$G$上	-	-	$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_G},& (x,y)\in G\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

若$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$，则$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。 若$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$且独立，则$aX\pm bY\sim N(a{\mu }_1\pm b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)$。

2. 数字特征
   • $EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$
   • $E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$
   • $E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$
   • $DX=E(X^2)-(EX{)}^2$
   • $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY$
   • ${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$
   • $D(CX)=C^{2}DX$
   • $D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2\text{Cov}(X,Y)$
3. 分布函数与边缘分布
   • 联合密度：$f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)$ （独立时 $=f_X(x)f_Y(y)$）
   • 边缘密度：$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$，$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$
   • 概率计算：$P\{a\le X\le b\}={\int }_a^b{f}_X(x)dx$，$P\{(X,Y)\in D\}={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$
   • 分布函数：$F_X(x)=P\{X\le x\}$，$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$
4. 三大抽样分布
   • 若$X_1,...,X_n$独立同分布于$N(0,1)$，则${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$
   • 若$X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$且独立，则$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$
   • 若$U\sim {\chi }^2(n_1)$，$V\sim {\chi }^2(n_2)$且独立，则$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$
5. 大数定律与中心极限定理
   • 切比雪夫不等式：$P\{|X-EX|\ge ϵ\}\le \frac{DX}{{ϵ}^2}$
   • 中心极限定理：独立同分布的随机变量$X_1,...,X_n$，当$n$充分大时，和$S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma }^2)$，其中$\mu =E{X}_i,{\sigma }^2=D{X}_i$。
6. 似然函数
   • $L(\theta )={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$ 或 $L(\theta )={\prod }_{i=1}^{n}P\{X_i=x_i;\theta \}$
7. 无偏估计
   • 若$E(T)=\theta$，则$T$是$\theta$的无偏估计。
8. 正态总体均值的置信区间
   • ${\sigma }^2$已知：$(\bar{X}-u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$
   • ${\sigma }^2$未知：$(\bar{X}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$

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